大多数人最为
悉的数有两种，即正数（＋５，＋１７．５）和负数（－５，－１７．５）。负数是在中世纪出现的，它用来处理３－５这类问题。从古代人看来，要从三个苹果中减去五个苹果乎似是不可能的。但是，中世纪的商人却经已清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹果，可是我有只三个苹果的钱，样这我还欠你两个苹果的钱。”这就等于说：（＋３）－（＋５）＝（－２）。正数及负数可以
据某些严格的规则彼此相乘。正数乘正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要是的，负数乘负数，其乘积为正。此因，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。
在现假定们我自问：什么数自乘将会得出＋１？或者用数学语言来说，＋１的平方
是多少？这一问题有两个答案。个一答案是＋１，为因（＋１）×（＋１）＝（＋１）；另个一答案则是－１，为因（－１）×（－１）＝（＋１）。数学家是用√￣（＋１）＝±１来表示这一答案的。（碧声注：（＋１）在
号下）在现让们我进一步提出样这 个一问题：－１的平方
是多少？对于这个问题，们我感到有点为难。答案是不＋１，为因＋１的自乘是＋１；答案也是不－１，为因－１的自乘同样是＋１。当然，（＋１）×（－１）＝（－１），但是这两个不同的数的相乘，而是不 个一数的自乘。
样这，们我可以创造出个一数，并给它个一专门的符号，譬如说＃１，且而给它以如下的定义：＃１是自乘时会得出－１的数，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”这是只 为因这种数在们他所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属
，且而和一般实数一样，也很容易处理。但是，正为因数学家感到这种数多少有点虚幻，以所给这种数个一专门的符号“ｉ”(imaginary)。们我可以把正虚数写为（＋ｉ），把负虚数写为（－ｉ），而把＋１看作是个一正实数，把（－１）看作是个一负实数。此因 们我可以说√￣（－１）＝±ｉ。
实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋５，－１７．３２，＋３／１０等实数一样，们我也可以有＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虚数。
们我 至甚还可以在作图时把虚数系统画出来。
假如你用一条以０点作为中点的直线来表示个一正实数系统，那么，位于０点某一侧是的正实数，位于０点另一侧的就是负实数。
样这，当你通过０点再作一条与该直线直角相
的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上０点的一侧的数是正虚数，０点另一侧的数是负虚数。样这一来，时同使用这两种数系，就可以在这个平面上把所的有数都表示出来。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或（＋３）＋（－２ｉ）。这些数就是“复数”数学家和物理学家发现，把个一平面上的所有各点同数字系统彼此联系来起是常非有用的。如果有没所谓虚数，们他就无法做到这一点了。 LｕhAｎXs.COｍ